TET Paper 2 Maths - రేఖీయ సమీకరణాలు మరియు వాటి గ్రాఫ్‌లు

1. 3x + 4y = 12 సరళ రేఖ నిరూపకాక్షాలతో (coordinate axes) ఏర్పరిచే త్రిభుజ వైశాల్యం ఎంత?

Find the area of the triangle formed by the straight line 3x + 4y = 12 with the coordinate axes.

A) 6 చదరపు యూనిట్లు (6 sq. units)
B) 12 చదరపు యూనిట్లు (12 sq. units)
C) 24 చదరపు యూనిట్లు (24 sq. units)
D) 4.5 చదరపు యూనిట్లు (4.5 sq. units)

సమాధానం (Answer): A) 6 చదరపు యూనిట్లు (6 sq. units)
వివరణ (Explanation): x-అక్షంపై ఖండన a = 12/3 = 4, y-అక్షంపై ఖండన b = 12/4 = 3. త్రిభుజ వైశాల్యం = (1/2) * |a| * |b| = (1/2) * 4 * 3 = 6.

2. k యొక్క ఏ విలువకు క్రింది రేఖీయ సమీకరణాల జతకు అనంతమైన సాధనలు ఉంటాయి?
kx + 3y = k - 3 మరియు 12x + ky = k

For what value of k will the following pair of linear equations have infinitely many solutions? kx + 3y = k - 3 and 12x + ky = k.

A) k = 6
B) k = -6
C) k = 0
D) k = 3

సమాధానం (Answer): A) k = 6
వివరణ (Explanation): అనంతమైన సాధనలకు నియమం (a1/a2) = (b1/b2) = (c1/c2). (k/12) = (3/k) => k^2 = 36 => k = ±6. k = 6 ప్రతిక్షేపిస్తే మూడవ నిష్పత్తి (6-3)/6 = 3/6 = 1/2 సరిపోతుంది.

3. px + qy = r మరియు mx + ny = s అనే రెండు సరళ రేఖలు ఒకదానికొకటి లంబంగా (perpendicular) ఉంటే, వాటి గుణకాల మధ్య సంబంధం ఏమిటి?

Two lines are represented by px + qy = r and mx + ny = s. If they are perpendicular to each other, what is the relation between their coefficients?

A) pm + qn = 0
B) pn - qm = 0
C) ps - qr = 0
D) pq + mn = 0

సమాధానం (Answer): A) pm + qn = 0
వివరణ (Explanation): మొదటి రేఖ వాలు m1 = -p/q, రెండవ రేఖ వాలు m2 = -m/n. లంబ రేఖలకు నియమం m1 * m2 = -1 => (-p/q)(-m/n) = -1 => pm = -qn => pm + qn = 0.

4. x = 0, y = 0 మరియు (x/a) + (y/b) = 1 అనే రేఖలు ఏర్పరిచే త్రిభుజం యొక్క కేంద్రాభాసం (centroid) నిరూపకాలు ఏమిటి?

What are the coordinates of the centroid of the triangle formed by the lines x = 0, y = 0, and (x/a) + (y/b) = 1?

A) (a, b)
B) (a/3, b/3)
C) (a/2, b/2)
D) (3a, 3b)

సమాధానం (Answer): B) (a/3, b/3)
వివరణ (Explanation): త్రిభుజ శీర్షాలు (0,0), (a,0) మరియు (0,b). కేంద్రాభాసం G = ((0+a+0)/3, (0+0+b)/3) = (a/3, b/3).

5. ఒక పడవ ప్రవాహానికి వ్యతిరేకంగా 30 కి.మీ మరియు ప్రవాహ దిశలో 44 కి.మీ దూరం వెళ్లేందుకు 10 గంటలు పడుతుంది. అదే పడవ వ్యతిరేకంగా 40 కి.మీ, దిశలో 55 కి.మీ వెళ్లేందుకు 13 గంటలు పడుతుంది. అయినా ప్రవాహం వేగం ఎంత?

A boat goes 30 km upstream and 44 km downstream in 10 hours. In 13 hours, it can go 40 km upstream and 55 km downstream. Determine the speed of the stream.

A) 3 కి.మీ/గంట (3 km/hr)
B) 5 కి.మీ/గంట (5 km/hr)
C) 8 కి.మీ/గంట (8 km/hr)
D) 11 కి.మీ/గంట (11 km/hr)

సమాధానం (Answer): A) 3 కి.మీ/గంట (3 km/hr)
వివరణ (Explanation): వ్యతిరేక వేగం u = 5 కి.మీ/గంట, దిశలో వేగం v = 11 కి.మీ/గంట అని రేఖీయ సమీకరణాల ద్వారా సాధించవచ్చు. ప్రవాహం వేగం = (v - u)/2 = (11 - 5)/2 = 3 కి.మీ/గంట.

6. 3x + y = 1 మరియు (2k-1)x + (k-1)y = 2k + 1 సమీకరణాల జతకు సాధన లేకపోతే (inconsistent), k విలువ ఎంత?

If the system of equations 3x + y = 1 and (2k-1)x + (k-1)y = 2k + 1 is inconsistent (no solution), then find the value of k.

A) 2
B) 3
C) 1
D) 4

సమాధానం (Answer): A) 2
వివరణ (Explanation): సాధన లేని పరిస్థితికి (a1/a2) = (b1/b2) != (c1/c2) => 3/(2k-1) = 1/(k-1) => 3k - 3 = 2k - 1 => k = 2.

7. మూడు చరరాశులలో రేఖీయ సమీకరణం ax + by + cz = d యొక్క జ్యామితీయ నిరూపణ ఏమిటి?

What is the geometrical representation of a linear equation in three variables ax + by + cz = d?

A) 2D తలంలో సరళ రేఖ (A straight line in 2D plane)
B) 3D అంతరిక్షంలో ఒక తలం / సమతలం (A plane in 3D space)
C) 3D అంతరిక్షంలో బిందువు (A point in 3D space)
D) గోళం (A sphere)

సమాధానం (Answer): B) 3D అంతరిక్షంలో ఒక తలం / సమతలం (A plane in 3D space)
వివరణ (Explanation): రెండు చరరాశుల రేఖీయ సమీకరణం 2D తలంలో సరళ రేఖను సూచಿಸಿದಂತೆ, మూడు చరరాశుల రేఖీయ సమీకరణం 3D అంతరిక్షంలో ఒక తలాన్ని (Plane) సూచిస్తుంది.

8. 3x + 4y = 12 మరియు 3x + 4y = 24 అనే రెండు సమాంతర రేఖల మధ్య దూరం ఎంత?

Find the distance between the two parallel lines represented by 3x + 4y = 12 and 3x + 4y = 24.

A) 2 యూనిట్లు (2 units)
B) 2.4 యూనిట్లు (2.4 units)
C) 3 యూనిట్లు (3 units)
D) 4 యూనిట్లు (4 units)

సమాధానం (Answer): B) 2.4 యూనిట్లు (2.4 units)
వివరణ (Explanation): రెండు సమాంతర రేఖల మధ్య దూరం సూత్రం: |c1 - c2| / sqrt(a^2 + b^2) = |-12 - (-24)| / sqrt(3^2 + 4^2) = 12 / 5 = 2.4.

9. 2x + 3y - 5 = 0 మరియు kx - 6y - 7 = 0 అనే రేఖలు ఒకే ఒక బిందువు వద్ద ఖండించుకుంటే, క్రింది వాటిలో ఏది నిజం?

If the lines 2x + 3y - 5 = 0 and kx - 6y - 7 = 0 intersect at a unique point, then which of the following is true?

A) k = -4
B) k != -4
C) k = 4
D) k != 4

సమాధానం (Answer): B) k != -4
వివరణ (Explanation): ఖండన రేఖలకు (Unique solution) (a1/a2) != (b1/b2) => (2/k) != (3/-6) => (2/k) != -(1/2) => k != -4.

10. y = mx సమీకరణం యొక్క గ్రాఫ్ m యొక్క ఏ విలువకైనా కచ్చితంగా ఏ బిందువు గుండా వెళుతుంది?

The graph of the equation y = mx always passes through which specific point, regardless of the value of m?

A) (1, 1)
B) (0, 0)
C) (m, 0)
D) (0, m)

సమాధానం (Answer): B) (0, 0)
వివరణ (Explanation): x = 0 ప్రతిక్షేపించగా y = m(0) = 0. కాబట్టి m విలువ ఎంతైనా మూలబిందువు (0,0) ఈ సమీకరణాన్ని సంతృప్తిపరుస్తుంది.

www.Guruvu.in

పరీక్ష ఫలితం (Quiz Result)