tet.Guruvu.In

గణితం: త్రిభుజాల ధర్మాలు (Properties of Triangles)

TET Very Hard & Application Level Practice Test (Bilingual)

మిగిలిన సమయం / Time Left: 15:00


Q1. In triangle ABC, AB = 6 cm, AC = 8 cm, and median AD = 5 cm. Find the length of side BC.
త్రిభుజం ABC లో AB = 6 సెం.మీ., AC = 8 సెం.మీ. మరియు మధ్యగత రేఖ AD = 5 సెం.మీ. అయినచో BC పొడవు ఎంత?
Explanation: Using Apollonius Theorem: AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2). Substituting values: 6^2 + 8^2 = 2(5^2 + BD^2) => 36 + 64 = 2(25 + BD^2) => 100 = 50 + 2BD^2 => BD = 5 cm. Therefore, BC = 2 * BD = 10 cm.
వివరణ: అపోలోనియస్ సిద్ధాంతం ప్రకారం: AB^2 + AC^2 = 2(AD^2 + BD^2). విలువలు ప్రతిక్షేపించగా BC = 10 సెం.మీ. వస్తుంది.
Q2. In triangle ABC, the internal bisector of angle A meets BC at D. If AB = 10 cm, AC = 6 cm, and BC = 12 cm, find the length of BD.
త్రిభుజం ABC లో, కోణం A యొక్క అంతర సమద్విఖండన రేఖ BC ను D వద్ద కలుస్తుంది. AB = 10 సెం.మీ., AC = 6 సెం.మీ., మరియు BC = 12 సెం.మీ. అయిన BD పొడవు ఎంత?
Explanation: By Angle Bisector Theorem, BD / DC = AB / AC = 10 / 6 = 5 / 3. Since BC = 12 cm, BD = (5 / (5 + 3)) * 12 = (5 / 8) * 12 = 7.5 cm.
వివరణ: కోణ సమద్విఖండన సిద్ధాంతం ప్రకారం BD / DC = AB / AC. దీని నుండి BD = 7.5 సెం.మీ. అవుతుంది.
Q3. A line parallel to side BC of triangle ABC intersects AB and AC at D and E such that AD : DB = 3 : 2. If the area of triangle ADE is 36 sq.cm, find the area of trapezium BCED.
త్రిభుజం ABC భుజం BC కి సమాంతరంగా గీచిన రేఖ AB మరియు AC లని D మరియు E ల వద్ద తాకుతుంది, ఇక్కడ AD : DB = 3 : 2. త్రిభుజం ADE వైశాల్యం 36 చ.సెం.మీ. అయిన, ట్రెపీజియం BCED వైశాల్యం ఎంత?
Explanation: AD : AB = 3 : (3+2) = 3 : 5. Area ratio of triangle ADE to triangle ABC = (3/5)^2 = 9/25. If Area(ADE) = 36, then Area(ABC) = 36 * 25 / 9 = 100 sq.cm. Area(BCED) = Area(ABC) - Area(ADE) = 100 - 36 = 64 sq.cm.
వివరణ: త్రిభుజాల వైశాల్యాల నిష్పత్తి భుజాల నిష్పత్తి వర్గానికి సమానం. ట్రెపీజియం వైశాల్యం = మొత్తం వైశాల్యం - చిన్న త్రిభుజ వైశాల్యం = 100 - 36 = 64 చ.సెం.మీ.
Q4. The lengths of two sides of a triangle are 7 cm and 24 cm. If the third side is an integer, how many different values can the perimeter of the triangle take?
ఒక త్రిభుజం యొక్క రెండు భుజాల పొడవులు 7 సెం.మీ. మరియు 24 సెం.మీ. మూడవ భుజం పూర్ణాంకమైనచో, ఆ త్రిభుజం యొక్క చుట్టుకొలత ఎన్ని భిన్నమైన విలువలను పొందగలదు?
Explanation: Third side 'c' satisfies the condition 24 - 7 < c < 24 + 7 => 17 < c < 31. The integer values for c are 18, 19, ..., 30, which are 13 values. Since each unique c gives a unique perimeter, there are 13 possible perimeter values.
వివరణ: మూడవ భుజం 'c' విలువ 17 < c < 31 మధ్య ఉంటుంది. c యొక్క సాధ్యమైన పూర్ణాంక విలువలు 13 (18 నుండి 30 వరకు).
Q5. In triangle ABC, O and H are the circumcenter and orthocenter respectively. If angle BAC = 60 degrees, find angle OBC (assuming O is inside).
త్రిభుజం ABC లో O మరియు H లు వరుసగా పరివృత్త కేంద్రం మరియు లంబ కేంద్రం. కోణం BAC = 60 డిగ్రీలు అయినచో కోణం OBC విలువ ఎంత?
Explanation: Angle BOC = 2 * Angle BAC = 2 * 60 = 120 degrees. In triangle OBC, OB = OC (circumradius), so Angle OBC = Angle OCB = (180 - 120) / 2 = 30 degrees.
వివరణ: కేంద్ర కోణం పరిధి కోణానికి రెట్టింపు ఉంటుంది. కాబట్టి కోణం BOC = 120 డిగ్రీలు. త్రిభుజం OBC లో సమద్విబాహ ధర్మం ప్రకారం కోణం OBC = 30 డిగ్రీలు.
Q6. In a right-angled triangle ABC with angle B = 90 degrees, BD is perpendicular to AC. If AD = 4 cm and DC = 9 cm, find the length of BD.
కోణం B = 90 డిగ్రీలు గల లంబకోణ త్రిభుజం ABC లో BD లంబంగా AC పై ఉంది. AD = 4 సెం.మీ. మరియు DC = 9 సెం.మీ. అయిన BD పొడవు ఎంత?
Explanation: In a right-angled triangle, the altitude on the hypotenuse satisfies BD^2 = AD * DC. Therefore, BD^2 = 4 * 9 = 36 => BD = 6 cm.
వివరణ: లంబకోణ త్రిభుజంలో లంబకోణ శీర్షం నుండి కర్ణానికి గీచిన లంబ పొడవు BD = sqrt(AD * DC) = sqrt(4 * 9) = 6 సెం.మీ.
Q7. The lengths of the medians drawn from the acute angle vertices of a right-angled triangle are sqrt(52) cm and sqrt(73) cm. Find the length of the hypotenuse.
ఒక లంబకోణ త్రిభుజంలోని లంబకోణేతర శీర్షాల నుండి గీచిన మధ్యగత రేఖల పొడవులు sqrt(52) సెం.మీ. మరియు sqrt(73) సెం.మీ. అయిన, ఆ త్రిభుజ కర్ణం పొడవు ఎంత?
Explanation: Formula relating medians (m1, m2) from acute vertices and hypotenuse (h) is: 4 * (m1^2 + m2^2) = 5 * h^2. Substituting: 4 * (52 + 73) = 5 * h^2 => 4 * 125 = 5 * h^2 => 500 = 5 * h^2 => h^2 = 100 => h = 10 cm.
వివరణ: లంబకోణ త్రిభుజంలో మధ్యగత రేఖలకు మరియు కర్ణానికి గల సంబంధం 4 * (m1^2 + m2^2) = 5 * (కర్ణం)^2. దీని ద్వారా కర్ణం = 10 సెం.మీ. వస్తుంది.
Q8. In triangle ABC, AB = AC. D is a point on BC such that angle BAD = 30 degrees. If E is a point on AC such that AE = AD, find angle EDC.
త్రిభుజం ABC లో AB = AC. BC పై D ఒక బిందువు, ఇక్కడ కోణం BAD = 30 డిగ్రీలు. AC పై E ఒక బిందువు, AE = AD అయ్యేలా ఉంటే, కోణం EDC విలువ ఎంత?
Explanation: By applying triangle angle properties and exterior angle theorems step-by-step, the angle EDC evaluates to 15 degrees.
వివరణ: త్రిభుజ కోణాల మొత్తం మరియు బాహ్య కోణ సిద్ధాంతాలను ఉపయోగించి సాధించగా కోణం EDC = 15 డిగ్రీలు వస్తుంది.
Q9. In triangle ABC, side BC is produced to D. The bisectors of angle ABC and angle ACD meet at E. If angle BAC = 50 degrees, find angle BEC.
త్రిభుజం ABC లో BC భుజాన్ని D వరకు పొడిగించారు. కోణం ABC మరియు కోణం ACD ల కోణ సమద్విఖండన రేఖలు E వద్ద కలుస్తాయి. కోణం BAC = 50 డిగ్రీలు అయినచో కోణం BEC విలువ ఎంత?
Explanation: The angle formed by the bisector of an interior angle and an adjacent exterior angle is equal to half of the third interior angle. Therefore, angle BEC = (1/2) * angle BAC = (1/2) * 50 = 25 degrees.
వివరణ: అంతర కోణం మరియు ఆనుకుని ఉన్న బాహ్య కోణ సమద్విఖండన రేఖల మధ్య కోణం, మిగిలిన అంతర కోణంలో సగం ఉంటుంది. కోణం BEC = 50 / 2 = 25 డిగ్రీలు.
Q10. In triangle ABC, G is the centroid. If the area of triangle GBD is 15 sq.cm where D is the midpoint of BC, find the total area of triangle ABC.
త్రిభుజం ABC లో G గురుత్వ కేంద్రం. BC మధ్యమ బిందువు D అయినచో, త్రిభుజం GBD వైశాల్యం 15 చ.సెం.మీ. అయితే త్రిభుజం ABC యొక్క మొత్తం వైశాల్యం ఎంత?
Explanation: The three medians divide a triangle into 6 smaller triangles of equal area. Area of triangle GBD is 1/6th of the total area of triangle ABC. Total Area = 6 * 15 = 90 sq.cm.
వివరణ: మూడు మధ్యగత రేఖలు త్రిభుజాన్ని సమాన వైశాల్యాలు గల 6 చిన్న త్రిభుజాలుగా విభజిస్తాయి. మొత్తం వైశాల్యం = 6 * 15 = 90 చ.సెం.మీ.